Đăng bởi: lety | 09/02/2012

IMS

Indian National Mathematical Olympiad 2012

Kì thi Olympiad Ấn Độ đã được tổ chức ngày  5/2/2012. Dưới đây là toàn bộ đề thi

Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Giả sử AB=\sqrt{2+ \sqrt{2}}AB trương một cung có số đo 135^{\circ}. Tìm trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.

Bài 2. Cho p_{1} < p_{2} < p_{3} < p_{4}q_{1} < q_{2} < q_{3} < q_{4} là hai bộ số nguyên tố thỏa mãn p_{4} - p_{1} = 8q_{4} - q_{1} = 8. Giả thiết p_{1}>5q_{1}>5. Chứng minh rằng p_{1} - q_{1} chia hết cho {30}

Bài 3. Cho một dãy các hàm số \{f_n(x)\}_{n\geq 0} xác định như sau:  f_{0}(x)=1, f_{1}(x)=x,\ (f_{n}(x))^{2}-1=f_{n-1}(x)f_{n+1}(x),\ \text{for}\ n\geq 1. Với n=1,2,3,\ldots, chứng minh rằng mỗi hàm f_n(x) là một đa thức với các hệ số nguyên.

Bài 4. Cho tam giác ABC, một điểm P nằm bên trong tam giác ABC được gọi là tốt nếu từ P ta kẻ được đúng {27} tia giao với các cạnh của tam giác ABC sao cho tam giác ABC được chia thành {27} tam giác nhỏ hơn đều có diện tích bằng nhau. Tìm số các điểm tốt của tam giác ABC.

Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC. Giả sử D,E,F là các điểm nằm trên BC, CA, AB sao cho AD là trung tuyến , BE là phân giác trong và CF là đường cao. Biết rằng \angle FDE=\angle C,\angle DEF=\angle A \angle EFD=\angle B. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

Bài 6. Cho một hàm số f :\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

  • f(0) \ne 0 , f(1) = 0
  • f(xy) + f(x)f(y) = f(x)+f(y)\left( f(x-y)-f(0) \right) f(x)f(y) = 0 với mọi x,y\in \mathbb{Z} .
  1. Tìm tập tất cả các giá trị của hàm f.
  2. Nếu f(10) \ne 0f(2)=0, tìm tập tất cả các số nguyên n để f(n) \ne 0.

Mời các bạn cùng tham gia giải đề thi này  tại:  http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=68138&hl=&fromsearch=1

Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Categories

%d bloggers like this: