Đăng bởi: lety | 27/12/2009

Học toán sáng tạo

Xin nêu một ví dụ về tinh thần quyết tâm cải tiến phương pháp học tập đang diễn ra ở một bộ phận tiến bộ trong học đường, trường THPT Thuận Thành số 1, tỉnh Bắc Ninh. Trong phần bài tập ôn tập chương II, SGK Giải tích lớp 12 có

Bài tập số 87: Chứng minh rằng {\log _2}3 > {\log _3}4    (1)

Đây là bài toán có đề bài thuộc loại “cực ngắn”. Kiểm tra tính đúng đắn của BĐT (1) bằng máy tính thì còn gì để nói, cách đó không phải là yêu cầu của bài toán này. Thế là phải biến đổi loga rồi. và thế là đã hấp dẫn rồi đó. Bạn Trần Xuân Hoàn có giải pháp như sau: BĐT {\log _2}3 > {\log _3}4 \Leftrightarrow {\log _2}3 + {\log _3}2 > {\log _3}4 + {\log _3}2 \Leftrightarrow {\log _2}3 + {\log _3}2 > {\log _3}8 . BĐT cuối rõ ràng đúng vì áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương  {\log _2}3,{\rm{ }}{\log _3}2 ta có {\log _2}3 + {\log _3}2 \ge 2.\sqrt {({{\log }_2}3).({{\log }_3}2)} = 2 = {\log _3}9 > {\log _3}8 .

Một lời giải thật là đẹp phải không các bạn. Nhưng vẫn đề không phải là làm xong một bài tập để rồi làm bài tập tiếp theo, rồi tiếp theo nữa… Qui trình học tập như vậy vô cùng nhàm chán. Học như vậy không thể nào vui được. Làm sao để có được niềm vui trong học tập. Chỉ có thành quả của sự sáng tạo mới đem lại cho ta niềm vui với hương vị ngọt ngào. Muốn vậy mỗi bài toán phải được coi là một phương tiện để tập sáng tạo. Bạn Hoàn cùng các bạn khác đã nghĩ tiếp, có thể rút ra được điều gì mới từ bài tập nhỏ trên ? Và thế là bạn Nguyễn Hữu Công đã phát hiện kết quả tổng quát hơn như sau, chứng minh rằng {\log _n}(n + 1) > {\log _{n + 1}}(n + 2),\forall n \in N,n > 1 .

Bạn đã áp dụng giải pháp trên của bạn Hoàn sang trường hợp tổng quát. Cụ thể như sau: BĐT  {\log _n}(n + 1) > {\log _{n + 1}}(n + 2) \Leftrightarrow {\log _n}(n + 1) + {\log _{n + 1}}n > > {\log _{n + 1}}(n + 2) + {\log _{n + 1}}n = {\log _{n + 1}}({n^2} + 2n) . Bất đẳng thức cuối rõ ràng đúng vì, áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương {\log _n}(n + 1);{\rm{ }}{\log _{n + 1}}n ta có {\log _n}(n + 1) + {\log _{n + 1}}n \ge 2 = {\log _{n + 1}}{(n + 1)^2} > {\log _{n + 1}}({n^2} + 2n)

Sự chuyển tiếp thật là tự nhiên. Từ BĐT trên, các bạn kết luận tiếp, dãy số {u_n} = {\log _n}(n + 1) là một dãy giảm. Vấn đề kế tiếp được nêu lên là: dãy số ({u_n}) trên có giới hạn không, nếu có, giới hạn đó bằng bao nhiêu?

Các bạn Trần Anh TuấnVũ Đăng Cương giải quyết như sau: Dãy giảm ({u_n}) hiển nhiên bị chặn dưới bởi 1 nên nó có giới hạn hữu hạn. Sau nữa với mọi n > 2 ta có 1 < {u_n} = {\log _n}(n + 1) = {\log _n}n(1 + \frac{1}{n}) = 1 + {\log _n}(1 + \frac{1}{n}) < 1 + {\log _2}(1 + \frac{1}{n}) . Vế trái và vế phải đều có giới hạn bằng 1, Từ đó kết luận \lim {u_n} = 1 .

Thế là từ một bài toán ôn tập chương, không dừng lại ở việc giải quyết được nó mà bằng một tinh thần tích cực trong học tập, các bạn đã biết quan sát, biết nảy sinh ý tưởng, nên đã tìm được những kết quả mới với những cách giải quyết thú vị. Tuy chưa phải là những vấn đề lớn lao trong toán học, nhưng điều đáng bàn ở đây là phương pháp học tập. Phương pháp học tập tốt là chìa khóa cho sự thành công, cũng là ẩn số cần tìm để thoát khỏi bao vấn nạn trong học đường hiện nay đang đè nặng lên người học và toàn xã hội.

Và chúng ta, những người bình thường, liệu có đủ tấm lòng rộng mở để chia sẻ được cảm xúc ngọt ngào của các bạn trong nhóm sáng tạo nói trên không? Và các bạn hãy thử xem, nếu a là một hằng số thực dương tùy ý cho trước thì giới hạn \lim {\log _n}(n + a) bằng bao nhiêu? Và còn bao kết quả mới tuyệt vời khác do chính các bạn tìm ra, các bạn hãy cởi mở chia sẻ cùng nhau để làm cho đường học của chúng ta thực sự là đường vui. Cuộc sống đích thực thì phải vui!

Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Chuyên mục

%d bloggers like this: