Đăng bởi: lety | 10/07/2009

Biểu thức đẳng cấp và ứng dụng

Trong Đề thi môn Toán, kì thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng khối A năm 2009 có câu V như sau:

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn  x(x + y + z) = 3yz, \text{ (1)}     ta có :

(x + y)^3 +(x + z)^3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) \le 5(y + z)^3. \text{ (2)}

HƯỚNG DẪN  GIẢI

Cách 1

Vì (1) và (2) đều đẳng cấp, nên không giảm tổng quát ta có thể giả thiết y + z = 1 . Khi này (1) \Rightarrow x(x+1) = 3yz\le3\left( \dfrac{y+z}{2} \right)^2 = \dfrac{3}{4} \Rightarrow x^2+x \le \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \\ 4x^2+4x-3 \le 0 \Leftrightarrow (2x+3)(2x-1) \le 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2} \text{ (do }x > 0 ) \\ GT(1) \Rightarrow x \le \dfrac{1}{2}. \text{ Dau = } \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{2}

Giờ chú ý là y + z = 1, 3yz = x^2 + x, 0 < x \le \frac{1}{2} áp dụng vào để biến đổi tương đương BĐT (2), cuối cùng ta sẽ được: (2) \Leftrightarrow 2x^2+3x-2 \le 0 \Leftrightarrow (2x-1)(x+2) \le 0. BĐT này rõ ràng đúng. Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow x=y=z= \frac{1}{2}

Cách 2

Vì (1) và (2) đều đẳng cấp, nên không giảm tổng quát ta có thể giả thiết x+y + z = 1 . Khi này (1) \Rightarrow x = 3yz \Rightarrow x^2 = 3xyz\le3\left( \dfrac{x+y+z}{3} \right)^3 = \dfrac{1}{9} \Rightarrow \\ x^2 \le \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{3} \text{ (do }x > 0 ). \\ \text{ GT}(1) \Rightarrow x \le \dfrac{1}{3}. \text{ Dau = } \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{3}

Giờ chú ý là y + z = 1-x, 3yz = x, 0 < x \le \frac{1}{3} áp dụng vào để biến đổi tương đương BĐT (2), cuối cùng ta sẽ được: (2) \Leftrightarrow 3x^3-10x^2+9x-2 \le 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2)(3x-1) \le 0. BĐT này rõ ràng đúng. Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow x=y=z= \frac{1}{3}

Cách 3

Đặt a = x + y, b = x + z, c = y + z thì khi đó:

GT(1) trở thành c^2 = a^2 + b^2 - ab (3)

Còn BĐT(2) \Leftrightarrow a^3 + b^3 + 3abc \le 5c^3   (4) với a, b, c dương thỏa mãn điều kiện trên

Vì (3) và (4) đều đẳng cấp và a, b, c khác 0 nên không giảm tổng quát ta có thể giả thiết c = 1. Khi này 1 = a^2 + b^2 - ab = (a+b)^2-3ab \ge (a+b)^2 - 3\left( \dfrac{a+b}{2} \right)^2 = \\ \dfrac{(a+b)^2}{4} \Rightarrow (a+b)^2 \le 4 \Leftrightarrow a+b \le 2. \text{ Dau = } \Leftrightarrow a = b = c = 1

Giờ chú ý là c = 1, a^2 + b^2 - ab = 1, 0 < a+b \le 2 áp dụng vào để biến đổi tương đương BĐT (4), ta sẽ được: (4) \Leftrightarrow a + b + 3ab \le 5 \Leftrightarrow (a+b) + (a+b)^2-1 \le 5 \Leftrightarrow \\ (a+b)^2 + (a+b)-6 \le 0 \Leftrightarrow (a+b+3)(a+b-2) \le 0.

BĐT này rõ ràng đúng. Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1

TÁI BÚT : Trên đây là ba phương án khai thác tính đẳng cấp của biểu thức toán chứa nhiều biến. Mời các bạn cùng tham gia thảo luận. Các bạn có thể chỉ ra những chỗ mà các bạn cảm thấy khó chịu nhất khi đọc các cách giải trên. Các bạn có thể đã cảm thấy cần phải đọc một trang sách nào đó nói về biểu thức toán chứa nhiều biến có tính đẳng cấp. Và có thể các bạn sẽ quyết định đưa ra một hướng mới khai thác tính đẳng cấp để góp thêm một lời giải nữa cho bài toán trên. Và có thể các bạn quyết định không khai thác tính đẳng cấp nữa, mà tập trung khai thác một tính chất khác nào đó (tính đối xứng chẳng hạn). Và có thể …, tất cả đều có thể. Đường học thật vui sao !.

Lê Nho Tỳ

Advertisements

Responses

  1. Đây chính là tính đồng bậc của BĐT. ta có thể chuẩn hóa được 🙂 Phép chuẩn hóa rất hữu dụng khi ta dùng kết hợp phương pháp pqr, với chuẩn hóa p hoặc q + dùng BĐT schur, lúc này sẽ chỉ còn 1 biến và xử lý là dễ dàng. Còn dạng đồng bậc này thì cũng quen thuộc trong BĐT rồi 🙂 Một số bất đẳng thức ko đồng bậc rất khó và tất nhiên khó hơn đồng bậc.Đó là ý kiến của em, rất mong nhận được sự tham gia thảo luận của thầy và các bạn.


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Categories

%d bloggers like this: